Ребенка без прописки по месту пребывания не взяли в школу

По такому аргументу отказ незаконен.

Согласно Приказу Минобрнауки России от 22.01.2014 N 32
"Об утверждении Порядка приема граждан на обучение по образовательным
программам начального общего, основного общего и среднего общего
образования":


В связи со вступлением в силу нового закона об образовании утвержден
обновленный порядок приема граждан на обучение по программам начального,
основного и среднего общего образования.
Определено, что в приеме в государственную или муниципальную
образовательную организацию может быть отказано только по причине
отсутствия в ней свободных мест (кроме организаций с углубленным
изучением отдельных предметов или профильного обучения, а также
организаций в области искусств и спорта). В таком случае родители или
законные представители ребенка для решения вопроса о его устройстве в
другую общеобразовательную организацию обращаются непосредственно в
региональный орган власти в области образования.
Государственная или муниципальная образовательная организация с целью
проведения организованного приема граждан в первый класс размещает на
своем сайте информацию о:
- количестве мест в первых классах не позднее 10 календарных дней с
момента издания местного распорядительного акта о закреплении
образовательных организаций за конкретными территориями;
- наличии свободных мест для приема детей, не проживающих на
закрепленной территории, не позднее 1 июля.
Прием заявлений в первый класс для граждан, проживающих на закрепленной
территории, начинается не позднее 1 февраля и завершается не позднее 30
июня текущего года.
Для детей, не проживающих на закрепленной территории, прием заявлений в
первый класс начинается с 1 июля текущего года до момента заполнения
свободных мест, но не позднее 5 сентября текущего года.

При приеме на свободные места детей, не проживающих на закрепленной
территории, преимущественным правом обладают дети граждан, имеющих право
на первоочередное предоставление места в соответствии с
законодательством РФ и региональными нормативными правовыми актами.
Правила приема в конкретную образовательную организацию устанавливаются
такой организацией самостоятельно в части, не урегулированной
законодательством об образовании.

Рекомендую направить жалобу в Прокуратуру по месту нахождения школы.