Может ли гражданка Узбекистана, проживающая в РФ по патенту, получить гражданство РФ?

Можете получить гражданство Российской Федерации на общих основаниях.

Федеральный закон от 31.05.2002 N 62-ФЗ (ред. от 23.06.2014) "О гражданстве Российской Федерации"

Статья 13. Прием в гражданство Российской Федерации в общем порядке

1. Иностранные граждане и лица без гражданства, достигшие возраста восемнадцати лет и обладающие дееспособностью, вправе обратиться с заявлениями о приеме в гражданство Российской Федерации в общем порядке при условии, если указанные граждане и лица:

а) проживают на территории Российской Федерации со дня получения вида на жительство и до дня обращения с заявлениями о приеме в гражданство Российской Федерации в течение пяти лет непрерывно.

Можете получить гражданство Российской Федерации в упрощенном порядке.

Вариант 1. Отказ от гражданства Узбекистана и признание носителем русского языка.

Федеральный закон от 31.05.2002 N 62-ФЗ
(ред. от 23.06.2014)
"О гражданстве Российской Федерации"

Статья 14. Прием в гражданство Российской Федерации в упрощенном порядке

2. Иностранные граждане и лица без гражданства, проживающие на территории Российской Федерации, вправе обратиться с заявлениями о приеме в гражданство Российской Федерации в упрощенном порядке без соблюдения условия о сроке проживания, установленного пунктом "а" части первой статьи 13 настоящего Федерального закона, если указанные граждане и лица:
2.1. Иностранные граждане и лица без гражданства, постоянно проживающие на законном основании на территории Российской Федерации, признанные носителями русского языка в соответствии со статьей 33.1 настоящего Федерального закона, вправе обратиться с заявлениями о приеме в гражданство Российской Федерации в упрощенном порядке при условии, если указанные граждане и лица:
а) обязуются соблюдать Конституцию Российской Федерации и законодательство Российской Федерации;
б) имеют законный источник средств к существованию;
в) отказались от имеющегося у них гражданства иностранного государства. Отказ от гражданства иностранного государства не требуется, если это предусмотрено международным договором Российской Федерации либо если отказ от гражданства Российской Федерации невозможен в силу не зависящих от лица причин.

Вариант 2. Если пропишетесь в РФ у бабушки и вступите в Государственную программу по оказанию содействия добровольному переселению в Российскую Федерацию соотечественников, проживающих за рубежом.

Федеральный закон от 31.05.2002 N 62-ФЗ (ред. от 23.06.2014) "О гражданстве Российской Федерации"

Статья 14. Прием в гражданство Российской Федерации в упрощенном порядке

7. В случае, если иностранные граждане и лица без гражданства, являющиеся участниками Государственной программы по оказанию содействия добровольному переселению в Российскую Федерацию соотечественников, проживающих за рубежом, и члены их семей имеют регистрацию по месту жительства на территории субъекта Российской Федерации, выбранного ими для постоянного проживания в соответствии с указанной Государственной программой, они могут быть приняты в гражданство Российской Федерации в упрощенном порядке без соблюдения условий, предусмотренных пунктами "а", "в" и "д" части первой статьи 13