Как в суде можно доказать, что ребёнок находился на иждивении у своего отца?

Отказ суда зависит от того, какое заявление вы подавали. Вам нужно подавать заявление об установлении факта, имеющего юридическое значение - нахождение на иждивении. Вам нужен официальный отказ в назначении пособия, этот отказ будет основанием для обращения в суд и установления факта нахождения на иждивении, также свидетельские показания, оплата учебы или иные расходы (поездки и т.п.) (если сын был так зарегистрирован по месту жительства отца, то вообще не ясно, почему был отказ и требование доказать факт иждивения, если он проживал совместно с родителем, является студентом дневного отделения - предполагаю). Вы, сын и покойный отец проживали в одном городе? Если в разных, еще проще доказать факт совместного проживания.