Как выписаться и прописаться правильно?

Здравствуйте.

Вам нужно обратиться в ФМС по адресу квартиры, в которой вы хотите зарегистрироваться, по старому месту жительства вас снимут с регистрационного учета автоматически.

Необходимо предоставить такие документы:

• документ, удостоверяющий личность;
• заявление установленной формы о регистрации по месту жительства;
• документ, являющийся в соответствии с жилищным законодательством Российской Федерации основанием для вселения в жилое помещение.

Постановление Правительства РФ от 17.07.1995 N 713 (ред. от 05.03.2015)

31. Снятие гражданина с регистрационного учета по месту жительства производится органами регистрационного учета в случае:

а) изменения места жительства - на основании заявления гражданина о регистрации по новому месту жительства или заявления о снятии его с регистрационного учета по месту жительства (в письменной форме или в форме электронного документа). При регистрации по новому месту жительства, если гражданин не снялся с регистрационного учета по прежнему месту жительства, орган регистрационного учета в 3-дневный срок обязан направить соответствующее уведомление в орган регистрационного учета по прежнему месту жительства гражданина для снятия его с регистрационного учета;