Пришло предписание из-за затопления соседа

Здравствуйте!

Требование управляющей комапнии правомрно. Пдитку можете снять самостоятельно, могут снять снатехники. Но лучше вам, потому что они всё сломают.

В случае, если окажется, что протечки у вас не было, вы сможете взыскать убытки с управляющей компании (расходы на новую плитку и ремонт)

Совершенно верно. В соответствии с п/п. "е" п. 34 правил предоставления коммунальных услуг собственникам и пользователям помещений в многоквартирных домах и жилых домов, утверждённых Постановлением Правительства РФ от 06.05.2011 N 354, потребитель (т.е. Вы) обязан допускать представителей исполнителя (в том числе работников аварийных служб), представителей органов государственного контроля и надзора в занимаемое жилое помещение для осмотра технического и санитарного состояния внутриквартирного оборудования в заранее согласованное с исполнителем в порядке, указанном в пункте 85настоящих Правил, время, но не чаще 1 раза в 3 месяца, для проверки устранения недостатков предоставления коммунальных услуг и выполнения необходимых ремонтных работ - по мере необходимости, а для ликвидации аварий - в любое время.

Если навыками не обладаете, значит придётся просить у кого-то или договариваться. Хотя бы с той же управляющей компанией.