Розыск со стороы РА.

Да, будут. Вас почти наверняка арестуют и выдадут Армении. У России с ней договор о сотрудничестве, в т.ч. в вопросах выдачи. Уклонение от службы по призыву и в России, и в Армении является преступлением, за которое грозит лишение свободы. Отказ от гражданства Армении не поможет избежать ответственности в случае выдачи.

Тут единственный выход - это получение гражданства России (своих граждан никто не выдаёт). Но для этого Вы будете должны отказаться от грузинского гражданства. Всё это можно сделать в российском посольстве, паспорт получите в России.

Я пишу, что выдадут "почти" наверняка, так как это межгосударственные отношения, в которых из соображений безопасности и из прочих мотивов можно ожидать любые действия власти, то есть как выдачу, так и отказ в выдаче.