Должен ли нерезидент платить какие-либо российские налоги?

Поскольку Вы - собственник доли квартиры в РФ, Вы платите налог на имущество.

Основание:

Закон РФ от 9 декабря 1991 г. N 2003-I "О налогах на имущество физических лиц"

Статья 1. Плательщики налогов

1. Плательщиками налогов на имущество физических лиц (далее - налоги) признаются физические лица - собственники имущества, признаваемого объектом налогообложения.

2. Если имущество, признаваемое объектом налогообложения, находится в общей долевой собственности нескольких физических лиц, налогоплательщиком в отношении этого имущества признается каждое из этих физических лиц соразмерно его доле в этом имуществе. В аналогичном порядке определяются налогоплательщики, если такое имущество находится в общей долевой собственности физических лиц и предприятий (организаций).

3. Если имущество, признаваемое объектом налогообложения, находится в общей совместной собственности нескольких физических лиц, они несут равную ответственность по исполнению налогового обязательства.

Статья 2. Объекты налогообложения

Объектами налогообложения признаются следующие виды имущества:

1) жилой дом;

2) квартира;

3) комната;

4) дача;

5) гараж;

6) иное строение, помещение и сооружение;

По Вашему вопросу об изменениях законодательства. Глава 23 НК РФ, которая определяет подоходный налог, не содержит никаких изменений на дату 01.10.14 г. по сравнению с действующей редакцией.