Можно ли подавать заявление по программе переселение соотечественников, работая в РФ, в другой области?

Заявление на гражданство РФ, а так же иные необходимые документы, подаются по месту жительства иностранного гражданина или лица без гражданства в подразделение по вопросам миграции Главного управления МВД России на территории страны, т. е. по месту, где заявитель имеет регистрацию по месту жительства, например, по имеющемуся у него виду на жительство в РФ.

Да, нужно будет увольняться, так как в другом регионе Вы можете стать участником программы только встав на миграционный учёт. А чтобы менять место временного проживания на другой регион, нужно сняться с учёта в данном регионе. Причём не факт, что органы внутренних дел по новому региону будут согласны на такое решение.

После изменения места временного проживания в РВП и постановки на миграционный учёт в новом регионе Ваши трудовые отношения в первом регионе вступят в противоречие с запретом на работу или проживание в иных регионах, кроме обозначенного в РВП.